Barisan dan Deret Aritmatika

A. Barisan Dan Deret 

Kalian tentu pernah berpikir tentang nomor rumah di sisi kiri jalan yang bernomor ganjil 1, 3, 5, 7, dan seterusnya, sedangkan nomor rumah di sisi kanan jalan bernomor genap 2, 4, 6, 8, dan seterusnya. Mungkin juga kalian pernah berpikir dari mana para pakar menyatakan bahwa 10 tahun ke depan penduduk Indonesia akan menjadi x juta jiwa.

Dua contoh di atas berkaitan dengan barisan dan deret dari suatu bilangan.

1. Barisan Bilangan

Bilangan-bilangan yang disusun urut dengan aturan tertentu seperti itulah dikenal dengan nama barisan bilangan.

Secara matematis, barisan bilangan merupakan nilai fungsi dengan daerah definisinya adalah bilangan asli. Misalkan barisan bilangan ditulis lambang U untuk menyatakan urutan suku-sukunya, maka bilangan pertama ditulis U(1) atau U₁, bilangan kedua ditulis U(2) atau U₂, dan seterusnya.

Jadi, bentuk umum barisan bilangan adalah U₁, U₂, U₃, ..., U_n, ...

Dalam hal ini, U_n = f(n) disebut rumus umum suku ke-n dari barisan bilangan.

Contoh Soal :

Diketahui barisan bilangan 4, 7, 12, 19, ....

a. Tentukan rumus suku ke-n.

b. Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 199?

Penyelesaian :

Barisan bilangan: 4, 7, 12, 19, ...

a. Suku ke-1 = U₁ = 4 = 1² + 3

Suku ke-2 = U₂ = 7 = 2² + 3

Suku ke-3 = U₃ = 12 = 3² + 3

Suku ke-4 = U₄ = 19 = 4² + 3

Suku ke-n = U_n = n² + 3

Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah U_n = n² + 3.

b. Diketahui suku ke-n = 199, berarti

U_n = 199

↔ n² + 3 = 199

↔ n² = 196

Karena n² = 196 maka n₁ = 14 atau n₂ = –14 (dipilih nilai n positif).

Mengapa tidak dipilih n = –14?

Jadi, suku yang nilainya 199 adalah suku ke 14.

2. Deret Bilangan

Misalkan kita mempunyai barisan bilangan U₁, U₂, U₃, ..., U_n dan S_n adalah jumlah dari suku-suku barisan itu.

S_n = S_n = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n disebut deret.

Jadi, deret adalah jumlahan suku-suku dari suatu barisan.

B. Barisan dan Deret Aritmatika

1. Barisan Aritmatika

Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b.

Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini.

a. 1, 4, 7, 10, 13, ...

b. 2, 8, 14, 20, ...

c. 30, 25, 20, 15, ...

Barisan-barisan tersebut merupakan contoh dari barisan aritmatika.

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U1) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut.

U₁ = a

U₂ = U₁ + b = a + b

U₃ = U₂ + b = (a + b) + b = a + 2b

U₄ = U₃ + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U₅ = U₄ + b = (a + 3b) + b = a + 4b

n = U_n–1 + b = a + (n – 1)b

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmatika adalah :

U_n = a + (n – 1)b

Keterangan: 

U_n = suku ke-n

a = suku pertama

b = beda

n = banyak suku

Contoh Soal Barisan Aritmatika :

Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....

Jawaban :

–3, 2, 7, 12, …

Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5.

Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh U_n = –3 + (n – 1)5.

Suku ke-8 : U₈ = –3 + (8 – 1)5 = 32.

Suku ke-20 : U₂₀ = –3 + (20 – 1)5 = 92.

Contoh Soal 2 :

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut.

Penyelesaian :

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.

Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3, dan U_n = 40.

Rumus suku ke-n adalah U_n = a + (n – 1)b sehingga :

40 = –2 + (n – 1)3

↔ 40 = 3n – 5

↔ 3n = 45

Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.

Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

2. Deret Aritmetika

Dari sembarang barisan aritmetika, misalnya 2, 5, 8, 11, 14, ... dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut, yaitu 2 + 5 + 8 + 11 + .... Terlihat bahwa barisan aritmetika dapat dibentuk menjadi deret aritmetika dengan cara menjumlahkan suku-suku barisan aritmetika sehingga dapat didefinisikan secara umum.

Misalkan U₁, U₂, U₃, ..., U_n merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n disebut deret aritmetika, dengan :

U_n = a + (n – 1)b.

Seperti telah kalian ketahui, deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan S_n. Dengan demikian,

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n.

Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus S_n, perhatikan contoh berikut.

Contoh Soal Deret Aritmatika :

Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.

Pembahasan :

Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskan sebagai berikut.

S5 =	2 + 5 + 8 + 11 + 14
S5 =	14 + 11 + 8 + 5 + 2	+
2S5 =	16 + 16 + 16 + 16 + 16
2S5 =	5 x 16
S5=80/2=40

Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.

Setelah kalian amati contoh di atas, kita dapat menentukan rumus umum untuk Sn sebagai berikut.

Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b. Oleh karena itu,

U1 =	a			= a
U2 =	a	+	B	= Un – (n – 2)b
U3 =	a	+	2b	= Un – (n – 3)b
Un =	a	+	(n – 1)b	= Un

Dengan demikian, diperoleh :

S_n = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b)

= a + (U_n – (n – 2) b) + (U_n – (n – 3) b) + ... + U_n............ (1)

Dapat pula dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya.

U_n–1 = Un – b

U_n–2 = U_n–1 – b = U_n – 2b

U_n–3 = U_n–2 – b = U_n – 3b

Demikian seterusnya sehingga Sn dapat dituliskan

S_n = a + (U_n – (n – 1)b) + … + (U_n – 2b) + (U_n – b) + U_n ...... (2)

Dari persamaan 1 dan 2 jika kita jumlahkan, diperoleh :

Dengan demikian, 2S_n = n(a + U_n)

↔ Sn = ½ n(a + U_n)

↔ Sn = ½ n(a + (a + (n – 1)b))

↔ Sn = ½ n(2a + (n – 1)b)

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah :

S_n = ½ n(a + U_n) atau

S_n = ½ n [2a + (n – 1)b]

Keterangan:

S_n= jumlah n suku pertama

a = suku pertama

b = beda

U_n = suku ke-n

n = banyak suku