Barisan dan Deret Geometri

1. Barisan Geometri

Coba kalian amati barisan 1, 2, 4, 8, 16, 32, .... Terlihat, suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan 2 pada suku sebelumnya. Barisan ini termasuk barisan geometri. Jadi, secara umum, barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dikalikan dengan suatu bilangan tetap (konstan). Bilangan yang tetap tersebut dinamakan rasio (pembanding) dan dinotasikan dengan r.

Perhatikan contoh barisan-barisan berikut.

a. 3, 6, 12, 24, ...

b. 2, 1, ½, 1/4, ...

c. 2, –4, 8, –16, ...

Barisan di atas merupakan contoh barisan geometri.

Dengan demikian, dapat disimpulkan jika U₁, U₂, ... U_n barisan geometri dengan U_n adalah Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama (U1) dinyatakan a dan rasio r, dapat diturunkan sebagai berikut.

U1 =	a
U2 =	U1 × r = ar
U3 =	U2 × r = ar2
U4 =	U3 × r = ar3
Un =	Un–1 × r = arn–2 × r = arn–1

Dengan demikian, diperoleh barisan geometri a, ar, ar², ..., ar^n–1, ...

Jadi, rumus umum suku ke-n (U_n) barisan geometri adalah :

U_n = ar^n–1

Keterangan: 

a = suku pertama

r = rasio

n = banyak suku

Contoh Soal Barisan Geometri :

Carilah suku pertama, rasio, dan suku ke-7 dari barisan geometri berikut.

a. 2, 6, 18, 54, ...

b. 9, –3, 1, -1/3 , ...

Jawaban :

a.    2, 6, 18, 54, ...

Dari barisan geometri di atas, diperoleh :

1) suku pertama: a = 2;

2) rasio: r = ... = ... = 3.

Karena rumus suku ke-n barisan geometri adalah :

U_n = ar^n–1 maka

U₇ = 2(3^7–1) = 2 × 729 = 1.458

3. Deret Geometri Tak Berhingga

Deret geometri yang tidak dapat dihitung banyak seluruh sukunya disebut deret geometri tak berhingga. 

Perhatikan deret geometri berikut.

a. 1 + 2 + 4 + 8 + ...

Deret-deret di atas merupakan contoh deret geometri tak berhingga.

Dari contoh a dan b , rasionya berturut-turut adalah 2 dan –2.

Jika deret tersebut diteruskan maka nilainya akan makin besar dan tidak terbatas. Deret yang demikian disebut deret divergen, dengan | r | > 1. Sebaliknya, dari contoh c dan d, rasio masing-masing deret 1/2 dan –1/3. Dari contoh c dan d, dapat kita hitung pendekatan jumlahnya. Deret tersebut dinamakan deret konvergen dengan | r | < 1. Pada deret konvergen, jumlah suku-sukunya tidak akan melebihi suatu harga tertentu, tetapi akan mendekati harga tertentu. Harga tertentu ini disebut jumlah tak berhingga suku yang dinotasikan dengan S_∞ . Nilai S_∞ merupakan nilai pendekatan (limit) jumlah seluruh suku (S_n) dengan n mendekati tak berhingga. Oleh karena itu, rumus deret tak berhingga dapat diturunkan dari deret geometri dengan suku pertama a, rasio r dan n → ∞ 

Karena deret konvergen (| r | < 1), untuk n → ∞ maka r_n → 0 sehingga :

Jadi, rumus jumlah deret geometri tak berhingga adalah :

, dengan | r | < 1

D. Notasi Sigma

Salah satu ciri matematika adalah digunakannya lambang untuk mengungkapkan suatu pernyataan secara singkat, jelas, dan konsisten yang jika diungkapkan dengan kalimat biasa cukup panjang. Salah satu lambang yang penting adalah ” Σ ” (dibaca: sigma). Lambang ini digunakan untuk menuliskan penjumlahan secara singkat.

1. Pengertian Notasi Sigma

Perhatikan penjumlahan bilangan-bilangan di bawah ini.

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50

Jika semua suku-sukunya ditulis, cara penulisan penjumlahan tersebut jelas tidak efektif. Apalagi jika banyak bilangan yang dijumlahkan makin besar. Dengan menggunakan notasi sigma, penulisan 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50 dipersingkat menjadi k (dibaca: sigma k mulai dari k = 1 sampai dengan k = 50). Atau, boleh dibaca sigma k, untuk k = 1 hingga 50.

Huruf k digunakan sebagai variabel suku yang akan bergerak mulai 1 dan bertambah 1 sampai mencapai 50. Bilangan 1 disebut batas bawah dan 50 disebut batas atas penjumlahan. Secara umum, notasi sigma dinyatakan sebagai berikut.

 U_k = U₁ + U₂ + ... + U_n

Keterangan: 

1 = batas bawah

n = batas atas

k = indeks

U_k = suku ke-k

Batas bawah tidak harus bernilai 1. Jika batas bawah penjumlahan 1 dan batas atasnya n maka penjumlahan terdiri atas n suku, sedangkan jika batas bawahnya r dan batas atasnya n maka penjumlahan terdiri dari (n – r + 1) suku.

Contoh Soal Notasi Sigma :

Nyatakan dalam bentuk penjumlahan k(k + 1).

Pembahasan :

k(k + 1) = 1(1 + 1) + 2(2 + 1) + 3(3 + 1) + 4(4 + 1) + 5(5 + 1)

= 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + 5 × 6

= 2 + 6 + 12 + 20 + 30