Fungsi Non Linier (Fungsi Kuadrat)

3.1 Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat atau fungsi berderajat dua ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua. Mengingat pangkat dua dalam persamaan kuadrat sesungguhnya dapat terletak pada baik variable x maupun variable y, bahkan pada suku xy(jika ada) maka bentuk yang lebih umum untuk suatu persamaan kuadrat ialah:

3.1.1 Lingkaran

Bentuk Umum persamaan lingkaran ialah : ax² + by² + cx + dy + e = 0

Jika i dan j masing-masing adalah jarak pusat lingkaran terhadap sumbu vertikal y dan sumbu horizontal x, sedangkan r adalah jari-jari lingkaran, maka persamaan baku lingkaran menjadi : ( x – i )² + ( y – j )² = r² , dengan



3.1.2.Ellips

Bentuk baku rumus ellips

3.1.3.Hiperbola

, jika sumbu lintang sejajar sumbu x

, jika sumbu lintang sejajar sumbu y

3.1.4.Parabola

Bentuk umum persamaan parabola adalah :

y = ax² + bx + c, jika sumbu simetri sejajar sumbu vertical

atau

x = ay² +by +c, jika sumbu simetri sejajar sumbu horisontal

3.2.Penerapan Ekonomi

3.2.1.Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar

Selain berbentuk fungsi linier, permintaan dan penawaran dapat pula berbentuk fungsi non linier. Fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang kuadratik dapat berupa potongan lingkaran, potongan elips, potongan hiperbola maupun potongan parabola. Cara menganalisis keseimbangan pasar untuk permintaan dan penawaran yang non linier sama seperti halnya dalam kasus yang linier. Keseimbangan pasar ditunjukkan oleh kesamaan Q_d = Q_s, pada perpotongan kurva permintaan dan kurva penawaran.

Keseimbangan Pasar :

Q_d = Q_s

Q_d = jumlah permintaan

Q_s = jumlah penawaran

E    = titik keseimbangan

P_e = harga keseimbangan

Q_e = jumlah keseimbangan

Analisis pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar juga sama seperti pada kondisi linier. Pajak atau subsidi menyebabkan harga jual yang ditawarkan oleh produsen berubah, tercermin oleh berubahnya persamaan penawaran, sehingga harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasarpun berubah. Pajak menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih tinggi dan jumlah keseimbangan menjadi lebih sedikit. Sebaliknya subsidi menyebabkan harga keseimbangan menjadi lebih rendah dan jumlah keseimbangan menjadi lebih banyak.

Contoh Soal:

Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan Q_d = 19 – P² , sedangkan fungsi penawarannya  adalah Q_s =  –8 + 2P² . Berapakah harga dan jumlah keseimbangan yang tercipta di pasar ?

Jawab  :

Keseimbangan Pasar

Q_d =     Q_s

19 – P² =  –8 + 2P²

P² =     9

P        =      3  ≡  P_e

Q        =  19 – P²

=  19 – 3²

Q        =  10   ≡ Q_e

Harga dan jumlah keseimbangan pasar adalah E ( 10,3 )

Jika misalnya terhadap barang yang bersangkutan dikenakan pajak spesifik sebesar 1 (rupiah) per unit, maka persamaan penawaran sesudah pengenaan pajak menjadi :

Q_s‘ = –8 + 2(P–1)² = –8 + 2(P²–2P+1) = –6 –4P+ 2P²

Keseimbangan pasar yang baru :

Q_d = Q_s‘

19 – P² = –6 – 4P + 2P²

3P² – 4P – 25 = 0

Dengan rumus abc diperoleh P₁= 3,63 dan P₂ = –2,30, P₂ tidak dipakai karena harga negative adalah irrasional.

Dengan memasukkan P = 3,63 ke dalam persamaan Q_d atau Q_s‘ diperoleh Q = 5,82.

Jadi, dengan adanya pajak : P_e^‘ = 3,63 dan Q_e^‘ = 5,82

Selanjutnya dapat dihitung beban pajak yang menjadi tanggungan konsumen dan produsen per unit barang, serta jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah, masing-masing :

t_k = P_e^‘ ­– P_e = 3,63 – 3 = 0,63

t_p = t – tk = 1 – 0,63 = 0,37

T = Q_e^‘ x t = 5,82 x 1 = 5,82

3.2.2.Fungsi Biaya

Selain pengertian biaya tetap, biaya variable  dan biaya total, dalam konsep biaya dikenal pula pengertian biaya rata-rata (average cost) dan biaya marjinal (marginal cost). Biaya rata-rata adalah biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan tiap unit produk atau keluaran, merupakan hasil bagi biaya total terhadap jumlah keluaran yang dihasilkan. Adapun biaya marjinal ialah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghsilkan satu unit tambahan produk

Biaya tetap                        :     FC = k

Biaya variable                  :     VC = f(Q) = vQ

Biaya total                         :       C = g (Q) = FC + VC = k + vQ

Biaya tetap rata-rata     :

Biaya variable rata-rata     :

Biaya rata-rata                  :

Biaya marjinal                  :

Bentuk non linier dari fungsi biaya pada umumnya berupa fungsi kuadrat parabolic dan fungsi kubik. Hubungan antara biaya total dan bagian-bagiannya secara grafik dapat dilihat sebagai berikut :

1. Biaya total merupakan fungsi kuadrat parabolik

Andaikan C = aQ² – bQ + c  maka  dan

Maka

1. Biaya total merupakan fungsi kubik

Andaikan C = aQ³ – bQ² + cQ + d makadan FC=D

Maka

Contoh Soal :

Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh persamaan

C = 2Q² – 24 Q + 102. Pada tingkat produksi berapa unit biaya total ini minimum? Hitunglah besarnya biaya total minimum tersebut. Hitung pula besarnya biaya tetap, biaya variable, biaya rata-rata, biaya tetap rata-rata dan biaya variable rata-rata pada tingkat produksi tadi. Seandainya dari kedudukan ini produksi dinaikkan dengan 1 unit, berapa besarnya biaya marjinal?

Jawab :

Berdasarkan rumus titik ekstrim parabola, C minimum terjadi pada kedudukan

Besarnya C minimum = 2Q² – 24 Q + 102

= 2(6)² – 24(6) + 102 = 30

Atau C minimum dapat juga dicari dengan rumus ordinat titik ekstrim parabola, yaitu

Selanjutnya, pada Q = 6

Jika Q = 7, C =  2(7)² – 24(7) + 102 = 32

Berarti untuk menaikkan produksi dari 6 unit menjadi 7 unit diperlukan biaya tambahan (biaya marjinal) sebesar 2.

Fungsi Penerimaan

Bentuk fungsi penerimaan total (total revenue, R) yang non linear pada umumnya berupa sebuah persamaan parabola terbuka ke bawah.

Penerimaan total merupakan fungsi dari jumlah barang , juga merupakan hasilkali jumlah barang dengan harga barang per unit. Seperti halnya dalam konsep biaya, dalam konsep penerimaanpun dikenal pengertian rata-rata dan marjinal. Penerimaan rata-rata (average revenue, AR) ialah penerimaan yang diperoleh per unit barang, merupakan hasilbagi penerimaan total terhadap jumlah barang. Penerimaan marjinal (marginal revenue, MR) ialah penerimaan tambahan yang diperoleh dari setiap tambahan satu unit barang yang dihasilkan atau terjual.

Penerimaan total               R = Q x P = f (Q)

Penerimaan rata-rata

AR = R/Q

Penerimaan marjinal

MR =

Contoh :

Fungsi permintaan yang dihadapi oleh seorang produsen monopolis ditunjukkan oleh P = 900 – 1,5 Q. Bagaimana persamaan penerimaan totalnya? Berapa besarnya penerimaan total jika terjual barang sebanyak 200 unit, dan berapa harga jual perunit? Hitunglah penerimaan marjinal dari penjualan sebanyak 200 unit menjadi 250 unit. Tentukan tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum, dan besarnya penerimaan maksimum tersebut.

Jawab :

P = 900 – 1,5 Q  R = Q x P = 900 Q – 1,5 Q²

Jika Q = 200 ,  R = 900 (200) – 1,5(200)² = 120.000

P = 900 – 1,5 (200) = 600

Atau

Jika Q = 250 ,  R = 900 (250) – 1,5(250)² = 131.250

R = 900 Q – 1,5 Q²

R maksimum pada

Besarnya R maksimum = 900 (300) – 1,5(300)² = 135.000

3.2.3.Keuntungan, Kerugian dan Pulang Pokok

Analisis Pulang Pokok (break-even) yaitu suatu konsep yang digunakan untuk menganalisis jumlah minimum produk yang harus dihasilkan atau terjual agar perusahaan tidak mengalami kerugian. Keadaan pulang pokok (profit nol, π = 0 ) terjadi apabila R = C ; perusahaan tidak memperoleh keuntungan tetapi tidak pula menderita kerugian.  Secara grafik hal ini ditunjukkan oleh perpotongan antara kurva R dan kurva C.

Tingkat produksi Q₁ dan Q₄ mencerminkan keadaan pulang pokok, sebab penerimaan total sama dengan pengeluaran (biaya) total, R = C. Area disebelah kiri Q₁ dan sebelah kanan Q₄ mencerminkan keadaan rugi, sebab penerimaan total lebih kecil dari pengeluaran total, R < C. Sedangkan area diantara Q₁ dan Q₄ mencerminkan keadaan untung, sebab penerimaan total lebih besar dari pengeluaran total, R > C. Tingkat produksi Q₃mencerminkan tingkat produksi yang memberikan penerimaan total maksimum. Besar kecilnya keuntungan dicerminkan oleh besar kecilnya selisih positif antara R dan C. Keuntungan maksimum tidak selalu terjadi saat R maksimum atau C minimum.

Contoh soal :

Penerimaan total yang diperoleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh persamaan R = -0,1Q² + 20Q, sedangkan biaya total yang dikeluarkan C = 0,25Q³ – 3Q² + 7Q + 20. Hitunglah profit perusahaan ini jika dihasilkan dan terjual barang sebanyak 10 dan 20 unit ?

Jawab ;

π  =  R – C = -0,1Q² + 20Q – 0,25Q³ + 3Q² – 7Q – 20

π  =  – 0,25Q³ + 2,9Q² + 13Q – 20

Q  =  10  π  =  – 0,25(1000) + 2,9(100) + 13(10) – 20

=   –250 + 290 +130 – 20 = 150 (keuntungan )

Q  =  20  π  =  – 0,25(8000) + 2,9(400) + 13(20) – 20

=   –2000 + 1160 +260 – 20 = – 600 (kerugian )

Contoh Soal :

Penerimaan total yang diperoleh suatu perusahaan ditunjukkan oleh fungsi R =  – 0,1Q² + 300Q, sedangkan biaya total yang dikeluarkannya C = 0,3Q² – 720Q + 600.000. Hitunglah :

1. Tingkat produksi yang menghasilkan penerimaan total maksimum ?
2. Tingkat produksi yang menunjukkan biaya  total minimum ?
3. Manakah yang lebih baik bagi perusahaan, berproduksi menguntungkan berproduksi pada tingkat produksi yang menghasilkan penerimaan total maksimum atau biaya total minimum ?

Jawab :

R =  – 0,1Q² + 300Q

C = 0,3Q² – 720Q + 600.000

R maksimum terjadi pada

C minimum terjadi pada

π pada R maksimum

Q = 1500   π = – 0,4Q² + 1020Q – 600.000

= – 0,4(1500)² + 1020(1500) – 600.000

=  30.000

1. π pada C minimum
2. Q = 1200   π = – 0,4Q² + 1020Q – 600.000

= – 0,4(1200)² + 1020(1200) – 600.000

=  30.000

3.3. Soal-Soal Latihan

1. Hitunglah harga dan jumlah keseimbangan pasar dari suatu barang yang permintaan dan penawarannya masing-masing ditunjukkan oleh persamaanQd=40 –P² dan Qs = -60+3 P².
2. Hitunglah harga dan jumlah keseimbangan pasar dari suatu barang yang permintaan dan penawarannya masing-masing ditunjukkan oleh persamaan Qd=20– P² dan Qs=-28+ 3 P².
3. Penerimaan total yang diperoleh suatu perusahaan ditunjukkan oleh fungsi                       R= – 3Q²+ 750Q, sedangkan biaya total yang dikeluarkannya C = 5Q² – 1000Q + 85.000. Hitunglah :

a. Tingkat produksi yang menghasilkan penerimaan total maksimum ?

b.Tingkat produksi yang menunjukkan biaya  total minimum ?

c. Manakah yang lebih menguntungkan berproduksi pada tingkat produksi yang menghasilkan penerimaan total maksimum atau biaya total minimum ?