Gradien dan Persamaan Garis

1. Gradien
– Gradien (m) disebut juga kemiringan garis.
– Bentuk umum persamaan garis lurus y = mx+c , dg m (gradien)
– Sedangkan pada persamaan garis : ax+by+c = 0 maka gradiennya:
by = -ax – c
y = -a/bx – c/b
m(gradient) = -a/b

Contoh soal: tentukan gradien persamaan garis 2x+4y+5 = 0
4y = -2x-5
y = -2/4 x – 5/4
 maka m = -2/4 = -1/2
cara cepat = -a/b = -2/4

Macam-macam gradien:
a) Gradien bernilai positif
Bila m (+)  contoh: 6x – 2 y – 9 = 0
m = – (6/-2) = 3 (positif)

b) Gradien bernilai negative
Bila m (-) Contoh : 6x + 3y – 9 = 0
m = – (6/3) = -2 (negative)

c) Gradien garis melalui pangkal koordinat
Garis l melalui pangkal koordinat (0,0) maka : m = y/x
contoh : Gradient Garis yang melalui titik (0,0) dan (2,-3) adalah :
m = y/x = -3/2

d) Gradien garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2)
sebuah garis lurus dapat diperoleh dengan cara menguhubungkan dua titik sembarang misal titik P (x1 y1) dan Q (x2 Y2) , Gradien garis PQ = m = delta y / delta x = (y2-y1)/(x2-x1)
contoh : Gradien melalui titik (-4,5) dan (2,-3)
m = (y2-y1)/(x2-x1) = (-3-5)/(2+4) = -8/6 = -4/3

Hubungan 2 garis lurus:

Bila diketahui garis k : y = m1 x + c dan garis l : y = m2 x + d maka berlaku gradien :
1) m1 = m2 jika garis k sejajar garis l
contoh : gradien sebuah garis yang sejajar dengan 3x + 6y = 8
a = 3 , b = 6
m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg sejajar: m1=m2 , maka m2 = -1/2

2) m1 . m2 = -1 jika garis k tegak lurus
garis l contoh: gradien sebuah garis yang tegak lurus dengan 3x + 6y = 8
a = 3, b = 6 m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg tegak lurus : m1 . m2 = -1, maka m2 = 2

2. Persamaan Garis Lurus

a) Garis dengan gradien m dan melalui 1 titik

Persamaan garis dengan gradien m dan melalui sebuah titik (x1,y1), adalah:

y – y1 = m (x – x1)

Contoh 1:
Tentukanlah persamaan garis melalui titik A(-3,4) dan bergradien -2.

Jawab:
Titik A(-3,4), berarti x­1 = -3 , y1 = 4 dan bergradien -2, berarti m = -2

Persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1,y1) adalah:

y – y1 = m ( x – x1 )
y – 4 = -2 {x – (-3)}
y – 4 = -2 (x + 3 )
y – 4 = -2 x – 6
y = -2x – 6 + 4
y = -2x – 2

Contoh 2:
Tentukanlah persamaan garis melalui titik B(6,2) dan sejajar dengan garis yang melalui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3)

Jawab:
Garis yang melalui titik P(2,-5) dan (-6, 3)
P(2,-5) berarti x1 = 2 , y1 = -5
Q(-6,3) berarti x2 = -6 , y2 = 3

Gradien yang melaui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3) adalah
m (PQ) Misal mPQ = (y2-y1)/(x2-x1) = (3+5)/(-6-2) = 8/-8 = -1 maka m1 = m2 = -1 ( dua garis sejajar )

Titik B(6, 2), berarti x­1 = 6, y1 = 2

Persamaan garis dengan gradien -1 dan melalui titik (6, 2) adalah :
y – y1 = m ( x – x1 )
y – 2 = -1 (x – 6)
y – 2 = -x + 6
y = -x + 6 + 2
y = -x + 8

b) Persamaan garis yang melalui dua titik

Gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu:

dengan menggunakan rumus persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1 , y1),
yaitu y – y1 = m ( x – x1 ) dapat diperoleh rumus berikut :

y – y1 = m ( x – x1 )
y – y1 = [(y2-y1)/(x2-x1)] (x – x1)
(y – y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)

Kesimpulan:

Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu : (y – y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8)

Jawab:
Garis l melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8).

A(3,4) berarti x1 = 3 , y1 = 4

B(5,8) berarti x2 = 5 , y2 = 8

Persamaan garis yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8) adalah :
(y – y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)
(y-4) / (8-4) = (x-3) / (5-3)
(y-4) / 4 = (x-3) / 2
2(y – 4) = 4(x – 3)
2y – 8 = 4x – 12
2y – 4x = 8 – 12
2y – 4x = -4
y – 2x = -2

>> Hubungan 2 garis lurus

1) Persamaan garis yang saling sejajar

1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan sejajar dengan garis y = 2x – 5

Jawab:
y = 2x – 5  maka m = 2 m1 = m2 = 2 (karna sejajar)
maka:
y – y1 = m (x-x1)
y – 3 = 2 (x-2)
y = 2x-4+3
y = 2x -1

2) Persamaan garis yang tegak lurus

1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan tegak lurus dengan garis y = 2x – 5

Jawab:
y = 2x – 5  maka m = 2 , karna tegak lurus : m1.m2 = -1 m2 = -1/2

maka persamaan garisnya:
y – y1 = m (x-x1)
y – 3 = -1/2 (x-2)
y = -1/2 x + 1 + 3
y = -1/2 x + 4
kali 2
2y = -x + 4
2y + x – 4 = 0

3) Persamaan garis yang berhimpit

garis-garis dengan persamaan y = m1x + c1 dan y = m2x + c2 berimpit, jika dan hanya jika m1 = m2 dan c1 = c2 dan secara umum garis dengan persamaan ax+by+c = 0 akan berhimpit dengan garis px+qy+r = 0 , jika p,q,r masing” merupakan kelipatan dari a, b, c..

>> Buktikan ! garis 2x+4y+3 = 0 berhimpit dg garis 6x+12y+9 = 0

4) Persamaan garis yang berpotongan

dua garis akan berpotongan jika memiliki gradien yang tidak sama atau koefisien dari x , y, dan konstantanya bukan merupakan kelipatan dari koefisien x, y dan konstanta persamaan garis lainnya.

>> Tentukan hubungan garis h1 = 6x – 3y – 5 dengan garis h2 = 3x + 4y + 6 !